为什么偏导数连续，函数就可微？

最新推荐文章于 2022-10-22 11:44:52 发布

马同学图解数学

最新推荐文章于 2022-10-22 11:44:52 发布

阅读量10w+

收藏 1.4k

点赞数 765

分类专栏：人工智能高等数学文章标签：微积分偏导数导数高等数学多变量微积分

本文链接：https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/83310653

版权

高等数学同时被 2 个专栏收录

44 篇文章 168 订阅

订阅专栏

人工智能

23 篇文章 82 订阅

订阅专栏

多变量微积分里面有这么一个结论：

如果函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，那么函数在该点可微。

下面来解释这个结论，并且减弱这个结论的条件。

先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义，后面要用到。如果非常熟悉了，可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

1 连续的含义

通俗来说，用笔作画，不提笔画出来的曲线就是连续的：

1.1 没有缝隙

我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙：

如果把曲线看作一条道路的话，那么不管是蚂蚁、人还是自行车，都有能力从左边走到右边：

而不连续的曲线会有断裂：

蚂蚁通过能力太差，就没有办法跨过裂缝：

1.2 另一层含义

从代数上我们可以看到另外一层含义。假设 $f(x_0)$ 附近某点为 $f(x_0+\Delta x)$ ，根据连续的性质有：

$\lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)$

利用极限的性质可以得到：

$\lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)\implies f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}$

因此上式表明， $f(x_0)$ 与附近 $f(x_0+\Delta x)$ 的值相差非常小，这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

2 可微的含义

2.1 单变量函数的微分

一元的情况下，在 $(x_0,f(x_0))$ 点可微指的是，在 $(x_0,f(x_0))$ 点附近可以用直线来近似曲线，这根直线就是切线：

距离 $(x_0,f(x_0))$ 越近，这种近似越好，体现为切线和曲线之间的相差越来越小：

令 $\Delta x=x-x_0$ ，那么 $x_0$ 附近曲线与直线的近似可以表示为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}$

2.2 多变量函数的微分

多元的情况下，就要复杂一些。关于下面内容，想了解更详细的可以参看：

2.2.1 偏导数

首先要对偏导数有所了解。多变量的函数 $f(x,y)$ 可以是三维空间中的曲面

平面 $y=t,t\in\mathbb{R}$ 是一系列平面，它们与曲面交于一条条曲线：

很显然，点在这些曲线上运动， $y$ 是不会变化的，只有 $x$ 会变化：

偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度（变化率），对于 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点，知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似，也就是这条曲线的切线，或者称为偏微分：

这种近似关系可以表示为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}$

同样的道理，偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 描述的是只有 $y$ 值变化的曲线上的点的速度，假设这样的曲线为 $f_y(x,y)$ ，其切线与之的近似关系可以表示为：：

$\underbrace{f(x_0,y_0+\Delta y)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta y)}_{代表非常小的值}$

2.2.2 微分

多变量的函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点的微分，指的是在 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点找到一个平面来近似曲面，这就是切平面：

切平面与曲面的近似可以表示为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)}_{曲面}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{平面}\quad+\quad\underbrace{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}_{代表非常小的值}$

上面出现了 $o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$ ，这是因为此点的邻域是一个平面（下面用圆来表示这个平面，实际上这个圆可以任意大小）：

此圆的半径可以表示为：

$r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$

2.3 微分与偏微分的关系

很显然，过 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点，并不是只有 $x,y$ 方向的曲线（两个方向的曲线的切线就是偏微分）：

还有无数别的方向的曲线（随便画了两条）：

这些曲线的切线（假如有的话）要在同一个平面，这个平面就是切平面，才叫做可微（详情参考之前给出的参考文章）。

而偏微分只是无数切线中的两条，所以：

$偏导数存在\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow 可微$

比如 $f(x,y)= \frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 就是偏导数存在，但是不可微。它的图像是：

在 $(0,0,0)$ 点， $f(x,y)$ 与 $x=0,y=0$ 的交线是下面红色的直线，分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴重叠：

因此，在 $(0,0,0)$ 点的偏微分就是 $x$ 轴和 $y$ 轴。但是 $f(x,y)$ 与 $y=x$ 的交线是：

在 $(0,0,0)$ 点形成了一个尖点：

很显然此曲线的切线不存在（此曲线的左右切线由方向导数决定）。因此 $f(x,y)$ 在 $(0,0,0)$ 点不可微（具体细节也请参看参考文章）。

3 偏导数连续推出可微

前面说了很多，就是为了得到下面这个表格：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad 连续 \quad&\quad f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+o(\Delta x)\quad\\ \hline \quad 偏导数 \quad&\quad f(x_0+\Delta x,y_0)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)\quad\\ \quad \quad&\quad f(x_0,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)\quad\\ \hline \quad 多元可微 \quad&\quad f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\quad\\ \hline\end{array}$

下面讲解涉及的三维图像太复杂，不容易看清，所以把三维图像画到二维中，应该不会影响理解。

先给出 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个点，把它们的三维坐标也标出来：

$A$ 点的偏导数连续，分别为：

$\frac{\partial f}{\partial x}\quad \frac{\partial f}{\partial y}$

从 $A$ 出发，运动到 $B$ ，很显然只有 $x$ 方向有变化：

因此 $B$ 点的值为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}=\underbrace{f(x_0,y_0)}_{A点}+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)$

继续往上走到 $C$ 点：

因为偏导数连续，所以附近的偏导数也是存在的，假设 $B$ 的偏导数为 $\frac{\partial f}{\partial y_b}$ ，那么可得：

$\begin{aligned}\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}_{C点} &=\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)\\ \\ &=\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y) \\ &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\end{aligned}$

这里就是关键了，因为偏导数连续，所以 $A$ 、 $B$ 偏导数差不多，有：

$\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_b}}_{B点偏导}=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}}_{A点偏导}+o(\Delta x)$

因此上式可以改写为：

$\begin{aligned}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_1}}_{\frac{\partial f}{\partial y}+o(\Delta x)}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\\ \\ &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\underbrace{o(\Delta x)\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)}_{等价于o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}\\ \\ &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\\\end{aligned}$

至此，得到了 $A$ 点可微的结论（上面的等价性没有证明，在一些《数学分析》书籍中，可微采用的是类似的定义）。

如果仔细看上面的证明，会发现只用到了 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 连续，因此条件可以减弱一些：

如果函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 及其邻域存在，偏导数其中之一在邻域内连续，那么函数在该点可微。

最新版本可以参见：为什么偏导数连续，函数就可微？

马同学图解数学

关注

765
点赞
踩
1440

收藏

觉得还不错? 一键收藏
打赏
120
评论
为什么偏导数连续，函数就可微？

多变量微积分里面有这么一个结论：如果函数的偏导数、在点连续，那么函数在该点可微。下面来解释这个结论，并且减弱这个结论的条件。先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义，后面要用到。如果非常熟悉了，可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。1 连续的含义通俗来说，用笔作画，不提笔画出来的曲线就是连续的：1.1 没有缝隙我们对连续的函数曲线的直观感受是没...
复制链接

扫一扫