IEEE 754规格化浮点数所能表示的最大值和最小值

刚开始自己不明白最大绝对值 2- 是怎么来的，记录下

IEEE 754标准

IEEE 754标准浮点数格式：

• 阶码用移码表示

• 移码=阶码真值+偏置值

• 阶码真值=移码-偏置值

• 偏置值的公式为：$2^{n-1}-1$

• 移码（这里的移码看作无符号数）的表示范围为：$0\sim 2^n-1$

• 尾数用原码表示

• 隐含最高数位1

• 阶码全1和阶码全0用作特殊用途

IEEE 754浮点数格式：

浮点数的最大值和最小值

IEEE 754规格化浮点数的最大值和最小值，可以先根据最大绝对值，改变符号位即可

浮点数的最大绝对值

浮点数规格化的阶码决定了数值的大小，因此找最大绝对值，就需要首先确认最大的阶码真值，然后再确定尾数部分最大

因此找最大绝对值需要确定最大阶码和确定最大尾数

我们拿短浮点数（单精度、float型）举例（长浮点数同理）。

已经知道 $$阶码真值=移码-偏偏置值$$ ，因此，$$最大的阶码=最大的移码-偏置值$$

短浮点数得阶码占$8$位，根据移码公式可以算出：$0\sim 2^8-1的取值范围为0\sim 255$

由于全1和全0用作特殊用途，所以我们能取得最大的移码是$254$；

根据偏置值公式可以算出：$2^{8-1}-1$，偏置值为$127$

由公式$$阶码真值=移码-偏偏置值$$可以求出最大阶码真值能取得$254-127=127$。求出最大阶码，再求最大尾数部分

短浮点数的尾数部分占$23$位，我们把$23$位数值位全部取1就是最大值，再加上隐含的最高位1，得出：$$1.11111111111111111111111$$

组合到一块就是： $$1.11111111111111111111111\times 2^{127}$$

但是这么多位1存在很麻烦，我们化简一下：$$1.11111111111111111111111=2-0.00000000000000000000001$$

最后得到：$$\left(2-2^{-23}\right)\times 2^{127}$$

浮点数的最小绝对值

和最大绝对值一样，只需要让阶码真值最小，尾数部分最小即可

继续拿短浮点数举例。

上面已经求出短浮点数移码的表示范围，短浮点数得阶码占$8$位，根据移码公式可以算出：$0\sim 2^8-1的取值范围为0\sim 255$，偏置值为$127$

由于移码的全1和全0用作特殊用途，所以我们能取得最小的移码是$1$；

由公式$$阶码真值=移码-偏偏置值$$可以求出最大阶码真值能取得$1-127=-126$。求出最小阶码，再求最小尾数部分

短浮点数的尾数部分占$23$位，我们把$23$位数值位全部取0就是最小值，再加上隐含的最高位1，得出：$$1.00000000000000000000000$$

最后得到：$$1.0\times 2^{-126}$$

浮点数的最大值

将绝对值改变符号即可

短浮点数所能表示的最大规格化正数：

$$\left(2-2^{-23}\right)\times 2^{127}$$

短浮点数所能表示的最大规格化负数：

$$-1.0\times 2^{-126}$$

浮点数的最小值

将绝对值改变符号即可

短浮点数所能表示的最小规格化正数：

$$1.0\times 2^{-126}$$

短浮点数所能表示的最小规格化负数：

$$-\left(2-2^{-23}\right)\times 2^{127}$$